北京时间8月9日，2026国际基础科学大会(ICBS)在北京雁栖湖国际会展中心正式开幕。普林斯顿大学数学系张寿武教授荣获安德鲁·怀尔斯数学奖章；他与北京国际数学研究中心袁新意教授合著的Adelic Line Bundles on Quasi-Projective Varieties (Princeton University Press, 2026)则摘得本届ICBS前沿科学奖。该著作被收入普林斯顿大学出版社旗下声誉卓著的数学丛书Annals of Mathematics Studies。
围绕这一最新著作，两位学者接受了本次专访。他们回顾了阿黛尔线丛理论的发展历程：一篇曾被搁置数年的论文，如何逐渐发展成为一套新的理论框架？从最初提出、不断完善，到在算术几何与算术动力系统等领域展现价值，这一理论背后经历了怎样的探索过程？
8月14日上午，张寿武教授还将在ICBS举办这一研究的相关讲座，具体信息和线上直播地址请见文末。
采访人 | 黄治中（中国科学院数学与系统科学研究院副研究员）、普林斯顿大学出版社中国办公室（PUP China）
采访者（黄治中）：今天非常荣幸借普林斯顿大学出版社的机缘促成这一次访谈，能够让两位老师莅临，介绍一下二位最新的一本专著 Adelic Line Bundles on Quasi-Projective Varieties。再次感谢两位老师接受本次采访。
我们就从 Arakelov Geometry 开始吧。你们能不能简单介绍一下Arakelov Geometry 这个学科主要关心的问题，它的一些主要的思想研究方法，以及它现在数论几何中的一些应用？
张寿武：我讲前半部分。Arakelov Geometry用一句话来说，就是用几何方法，研究高度理论。所以要讲讲，什么叫高度理论，什么叫几何方法。数学里的高度理论，形象地说，是研究一个算术系统，就是数论系统里面的复杂度。比如，一个有理数的复杂度——以 1/2 为例——它的复杂度大概就是1左右，因为分子是1、分母是2，在计算机中输入它花不了多长时间。再比如 99/100，如果让我给它一个复杂度，我会认为是3，因为分子和分母涉及三位数字（分子两位、分母三位）。这种复杂度无论在计算机领域还是数论中，都是一个重要的概念。它最早被广泛应用于解方程和求解各种方程系统。大约在毕达哥拉斯时代，人们就利用这种思想证明根号2不是有理数；后来费马研究自己的方程时提出的所谓“无限下降法”，也属于这一思路。
但“高度”正式被提炼成一个理论是1951年。法国的布尔巴基的创始人之一，叫André Weil，被认为是二十世纪最伟大数学家之一。他写了一篇文章叫做《代数簇上面的算术》，里面从头到尾都在讲高度理论。所以至少在50年代，高度理论和算术几何实际上是同一回事。在未来的二、三十年里面，高度理论又和BSD猜想发生了关系。
到了70年代，为了解决数论里面一个大猜想，叫Mordell猜想，前苏联数学家Arakelov在他读研究生的时候，创立了一个理论，叫高度的几何理论，也叫做Arakelov理论。到1986年的时候，德国数学家Faltings发展了Arakelov理论，并证明了Mordell猜想。这标志着Arakelov理论正式从幕后走到台前。
所谓Arakelov理论，就是把一个数在每一个地方的复杂度——也就是局部复杂度——分别计算出来，再把各个局部理论综合起来，形成整体的高度理论。这就是Arakelov理论创立时的基本思想。1986年之后，Arakelov理论逐渐从只有少数人掌握的理论，发展成为算术几何领域广泛接受的方法。虽然不能说成为主流，但它已经正式取代了经典的高度理论。
继Faltings和Gillet-Soulé建立一般形式下的Arakelov理论之后，我现在来介绍另一种思路——Adèle理论。在数论研究中，一个整数有两件事情很重要：第一是它有多大，第二是它的素因子分解。例如6可以分解为2乘3。对于整数而言，它的大小和素因子分解之间的关系比较简单；但对于分数，情况就不同了。比如99/100，它的大小与1很接近，但它的素因子分解却是：分子99可以分解为3*3*11，分母100可以分解为2*2*5*5。因此，对于99/100来说，它的大小和素因子分解都是重要的信息。
Adèle理论的思想，就是把通常意义上的大小，与各个素数处的赋值统一起来。例如，在2这个地方，一个数能够被2整除的次数越多，我们反而认为它越小，这是一个反直觉的定义。99/100的分母含有2和5，因此在2和5这两个地方，它都被认为是“大数”。总的来说，Adèle理论就是把各个素数处的赋值与阿基米德赋值（即通常意义上的大小）统一到同一个框架之中。
1995年，我为了研究一种高度——Néron-Tate heights（由一位法国数学家和一位美国数学家提出）——想到了一点：应该把研究思路从几何转向分析。此前大家做的工作，是把复杂度转化为几何对象；而Adèle理论的思想，则是把几何重新返回到分析。这样，在处理问题时，阿基米德赋值和非阿基米德赋值便可以用同一套语言来理解。这个观点是我在1995年提出的，后来很快被用于解决Bogomolov猜想，也算是这一理论的一次成功应用。在数学中，一个理论是否成功，往往要看它能否解决经典问题，而它确实解决了一个经典问题。后来，adelic line bundle理论首先在projective variety（射影簇）上得到广泛认可，随后又被应用到许多领域，例如动力系统。我后来和袁新意、张伟合写的The Gross-Zagier Formula on Shimura Curves一书，其中也明显运用了adelic的思想。
2010年前后，袁新意在Princeton担任assistant professor，而我也接受了Princeton的offer。当时我们交流时谈到，我们研究的是数域上的projective variety，而动力系统研究的对象则是在复数域上。我们一直在思考，如何把我们的理论推广到那些不是定义在数域上的对象。后来发现，任何这样的系统实际上都定义在一个有限生成域上。很多年后，我们想到，只需要把这种系统换成一个数域上的quasi-projective variety（拟射影簇）。这其实是一个非常自然的推广，因为quasi-projective本身就是一个更广泛的概念。
到了2020年前后，我们决定写一本书，把这些理论系统地推广出来。不久后，袁新意忽然提出需要用到这套理论，我们才开始认真完成这本书。
袁新意：张老师可能忘了我们2010年时候的motivation。张老师1995年的阿黛尔线丛定义在数域上的射影簇上，之后和Ullmo用来做了abelian variety的Bogomolov猜想。然后张老师就提了一个动力系统的Bogomolov猜想，那个猜想影响很深远。但是后面有人发现那个猜想不对。黄治中可能知道，Ghioca、Tucker他们造了一个反例，说动力系统版本的这个不对；之前张老师他们证的是abelian variety的版本，而后面这个不对的是动力系统的版本。张老师还忘记了一件事，这件事当时对我们来说还是有很负面的影响的。但现在看来，可能对读者而言，对年轻人而言，反而是一个激励的作用。就是张老师说的有限生成域这一套理论，我们证出了一些很有意思的东西，然后我们投稿到杂志，但总是被拒。那是在2010年左右，我们写了一篇文章，大概50页吧。
张寿武：对，我们是想把丘成桐的工作，Calabi-Yau，在非阿基米德域，也就是p-adic这个意义下面写清楚。我们证明了一个Kähler-Einstein度量的唯一性，但没法证明存在性。我们自己认为很了不起，结果别人觉得不怎么样。这种情况在数学里很常见。
袁新意：确实，我们投稿很不顺。我们先开始投最好的杂志，是Annals (Annals of Mathematics) 或Inventiones (Inventiones Mathematicae)，现在记不清是哪个杂志了，结果被拒了。然后我们就把文章拆成两部分，差不多每部分又有50页。第一部分投JAMS (Journal of the American Mathematical Society)，最后还是被拒了，编辑建议我们投Math Annalen。所以我们第一部分就投了Math Annalen，然后就发表在那里；第二部分其实包含了我们更原创的思想，最终出版为今天谈论的这本书。
张寿武：那第二篇文章写的实在是很难懂，我们自己都不怎么懂。当时我们并没有意识到这第二篇能够写成一个理论，但到现在，我们觉得它还是很有用。
袁新意：2010年左右，张老师说，我们就把第二篇文章投到一个第二梯队的杂志吧。于是我们投了JAG（Journal of Algebraic Geometry），结果也被拒了。可能编辑没怎么看就拒了，也没给出什么理由。其实也因为我们写的不清楚。我们定义新的阿黛尔线丛，定义的核心部分可能写了十几页，但是内容太浓缩了。里面还有一些逻辑上不恰当的地方，我们自己也不太能够说清楚。
被拒了之后，我们当时很受打击。这篇文章后来一直搁置着，只是在arXiv上放了一个预印本。那时候大概已经到了2012年。之后我们既不想投稿，也不想继续修改了。一方面，从功利的角度来说，我们花了很大力气，结果投稿还被拒，觉得很受打击；另一方面，文章修改起来确实很麻烦，怎么改都觉得费劲，我们自己读起来也觉得不自然，于是就一直放在那里，没有再推进。
到了2020年，有一件事情促使我们不得不重新把它拿出来。我之前在伯克利带一个博士生Alexander Carney，他想做算术动力系统相关的研究。大概在2014或2015年前后，在我的建议下，他开始做与我们第一篇文章相关的工作。我们的第一篇文章研究的是数域上的情形，而他做的是函数域上的情形。函数域相对数域要简单一些，很多技术和结果都可以直接照搬。他基本完成这部分工作后就博士毕业了。博士后期间，他继续做我们那第二篇的推广，就是把数域上的有限生成域上的结果进一步改写成几何的有限生成域上的版本，没多久也完成了。
后来他问我，他的第二篇文章应该投到哪里。我这时才意识到，我们其实陷入了一个很被动的局面。因为我和张老师自己的第二篇文章一直没有发表。那篇文章十年前被拒之后，我们就一直搁在那里，没有再管它。而我的学生已经基于我们第二篇的工作，做出了一个类似的函数域版本。如果他的文章要发表，而我们的工作还没有正式发表，就会很尴尬。正因为这个原因，我联系了张老师，提议把这篇文章整理出来发表。于是，我们在时隔十年之后，又重新启动了这个项目。那时候我已经回北大工作，大概是2020年初，正值疫情期间。
我们最初的想法很简单，只是准备修改文章中的一些小错误和不够自然的地方，然后随便投一个杂志，把这件事情了结。于是我重新开始读这篇文章，就发现我有些地方确实读不太懂。有些内容不是思想有问题，而是表达方式不够自然。我最初只是想稍微润色一下，让文章更顺畅，然后投稿了事。可是后来越来越发现，有些地方实际上写得并不对。当然，整体思想肯定没有问题，但具体写法需要修改。于是我开始一点一点修改，再和张老师讨论。
例如，关于Berkovich space的选择，当年我们实际上反复纠结过很多次。当时一直有两种写法，到底采用哪一种，我们来回修改了好几轮。一种写法使用的是一个自然、典范的空间，就是over Z的那个空间。但那个空间非常大，里面包含了很多我们认为是累赘的点，是不应该出现在那里、会影响整体思路的点。不过，它又确实是一个自然存在的对象。另一种写法，则是在每一个place上取通常的Berkovich space，再做一个无交并。这样一来，那些不重要的点就不存在了，但另一方面，这种构造又不够自然，缺乏函子性。因此，我们一直反复讨论，到底应该采用哪一种写法。
采访者（黄治中）：所以在一些重要的技术细节上，也是经历了很长时间的打磨。
张寿武：是，要平衡美感和实用性，这个是很难的一件事情。从美的角度， 我们要花很多精力做一些没有实际用途的内容。
袁新意：我想，就类似于你找一个对象，她就是一个整体。如果你只喜欢她的那些优点，觉得她某些毛病真是糟糕，想把它给切掉。但那她就不是她了，你这样没法跟她相处。
后来，正如张老师所说，我突然意识到，我们原来的定义其实还可以做一些调整。我们最初提出的思想本身是非常original的，而2010年最初的构想主要来自张老师。后来我逐渐意识到，这个思想其实还可以推广得更广，从有限生成域上的projective variety推广到essentially quasi-projective scheme，这个特别包含了数域上的quasi-projective variety。
再后来，在思考这些丢番图应用的时候，我发现这套思想虽然未必能够立刻解决重要的丢番图问题，但至少可以用我们的这套语言，把许多丢番图问题描述得更加清楚。
采访者（黄治中）：有没有具体的例子？
袁新意：具体来说，有两个例子。第一个是我后来关于Uniform Bogomolov的一篇文章。这就是张老师一开始提到的，我意识到，我和张老师建立的这套理论，应该可以用来处理这个问题。当然，一开始只是一些比较模糊的想法。这也受到高紫阳、Dimitrov、Habegger等人工作的影响。
另一个是我一直想做的一致有界猜想（Uniform Boundedness Conjecture）。这个猜想说，abelian varieties over number field的torsion points个数存在一致上界。这问题的函数域版本最近已经做出来了，是Yap、Looper，以及高紫阳和我的一个学生辜开源完成的。
正是这两个问题促使我们重新思考原来的理论。后来我们发现，原先的一些定义确实不够自然，于是进行了扩展，把整个理论建立得更加自然。我们前面一直在提，数学中存在“自然”与“不自然”的区别。有时候，自然的定义反而更加复杂、更抽象，也更麻烦。但我们始终认为，自然就是好的。随着不断修改，原来五十页左右的文章逐渐变成了八十页，后来又扩展到一百页。写着写着，我们又发现，可以建立拟射影簇（quasi-projective variety）上的等分布理论。于是继续写下去，最后就形成了现在这本书。
这本书的主要工作，基本都是在2020年下半年到2021年上半年这一年间完成的。相当于用这一年的工作，把2010年那篇五十页、被拒稿的文章，扩展成了一本两百页的专著。现在我觉得——不知道张老师怎么看——这套理论还是很有用的。
张寿武：还有一件很有意思的事情。我们把书写完、挂到网上之后，其实我们两个人还是不太清楚应该怎样处理它。我当时甚至觉得，可能没什么用。
后来，哈佛大学一位研究动力系统的教授Laura DeMarco，很快就把我们的理论用起来了，并证明了许多相关的定理。这给了我们很大的鼓舞，让我们觉得这套理论终于成为一个真正有用的理论。毕竟，写一本两百多页的书，如果一点用途都没有，总归不是一件好事。实际上，在她之前，动力系统领域已经有人利用我们的理论证明了一些非常重要的定理。到了那个时候，我们才觉得，这本书应该可以正式出版了。不过，这样一本书显然已经不适合发表在期刊上，因为篇幅太长。后来我们没有再投期刊，而是直接联系了Annals of Mathematics Studies。出版社也非常愿意出版，而且出版速度很快，跟杂志比起来，可能节省了两年时间。
袁新意：还有一件事情，也说明这套理论确实是有用的。Kühne在做Uniform Mordell的时候，2021年初就在arXiv上传了一篇文章。他在文章里自己证明了一个等分布定理，并利用这个定理证明一致Mordell猜想。实际上，我们书里也证明他那个等分布定理的更广的形式，只不过当时我们的书还没有上传到arXiv。
我记得张老师那天很高兴，打电话告诉我，说Kühne 用到了我们的等分布定理。后来，我们给Kühne写了一封邮件，告诉他我们也证明了这个结果。数学里面一直都有credit的问题，也就是优先权问题。我们告诉他，这个结果实际上是他独立证明的，我们也是独立证明的，因此双方都应该享有优先权。只是他的工作已经公开，而我们的书当时还没有公开。
张寿武：我们当然没有说他的工作有什么问题。只是我们的理论做得更广一些，而他的结果相对没有那么一般，但对于他的应用已经完全够用了。如果直接采用我们书里的理论，其实就不需要再单独证明那个等分布定理。
袁新意：我们最终找到了一种更加自然的方法，把后续需要用到的对象都统一定义好，放进一个完整而清晰的理论框架中。而他当时证明那个等分布定理，主要是为了得到某一个具体结果，因此只是针对那个结果单独建立证明，并没有放在一个更大的理论体系之中。
张寿武：还有件事情跟高紫阳有关系。他跟Habegger，Dimitrov做关于uniform Mordell猜想的时候，有一个内容是高度不等式。高紫阳跟我讨论的时候，我觉得证明是对的，但描述很别扭。我跟他提出它应当是关于一个叫做bigness （大性）理论的推论。在射影簇上的bigness理论是袁新意2008年的博士毕业论文，是他的成名作。高紫阳等处理的空间不是射影簇。所以需要一套新的理论。
袁新意：张老师给的问题。
张寿武：后来在拟射影簇的大性理论经过我们重新建立之后，变得非常强大，也非常自然。这是一件很重要的事情。
总之，到了2024年，这本书就可以说是水到渠成了。这时候再投稿，就不会再有人认为这是一个没用的理论了。所以现在宣传这本书就容易得多，因为已经可以举出很多例子，说明这个理论可以应用于各种问题，也已经取得了很多成果、甚至获得了一些奖项。如果是在2010年，你问我这个理论有什么用，我当时确实不知道。
采访者（PUP China）：所以，当时这本书是直接作为专著投稿，没有先发表成期刊论文，对吗？
张寿武：对，因为篇幅太长了，投专著相对保险一些。
我觉得，做期刊和专著，编辑的心态是不一样的。期刊编辑面对的投稿很多，往往是在寻找理由拒稿，因为每年能发表的文章数量有限。编辑会考虑篇幅是否与它的应用价值相匹配。期刊强调即时应用，而不是潜在应用。
而书就不一样，出版书还涉及利润。只要这本书有潜在应用就有价值，就愿意出版。我觉得我们的书属于第二种情况。我们认为它是对学生和研究者是有用的，会给出版社带来一些利润。
总之，最后出版成一本书，是一个很好的选择。
袁新意：“短”就不“自然”。
采访者（黄治中）：除了 Annals of Mathematics Studies，还有一些别的丛书类型，比如说Memoirs of the American Mathematical Society等等。
张寿武：对我来说，除了 Annals of Mathematics Studies，就是 Astérisque。只有这两个我大概会想着要投。
采访者（黄治中）：后来还是选择了 Annals of Mathematics Studies。
张寿武：因为那些编辑都是我同事嘛，也比较熟。他要不喜欢，他会打个电话告诉我。Nobody likes your book, sorry，那我就算了。当然，我那些同事还是很 professional 的。
袁新意：我想还是因为这个丛书系列（Annals of Mathematics Studies，Princeton University Press）是数学里面口碑最好的。
张寿武：对。
袁新意：我记起我们的第一本书，我和张寿武老师、张伟的那本，就是大家通常说的YZZ（The Gross-Zagier Formula on Shimura Curves，Princeton University Press，2012），也是在这个系列里面。我们先开始是投到 Annals杂志，然后杂志说我们的文章太长了，建议我们出书。
张寿武：因为在此之前，我单独写了一篇文章了，有一百多页，也发在 Annals。我把那篇文章投进去之后，再投两三百页，我觉得 Annals 也会觉得很古怪，同一个东西怎么要投那么多文章。所以我现在想起来，出书是对的。
袁新意：如果从短期功利的角度看，大家会认为投顶级杂志——我们叫四大杂志——作用更大。
张寿武：但是如果从Education的角度，我觉得投了书是更好。因为书我们可以花更多的精力，把这个东西写得清楚。如果是杂志，它要求篇幅比较短，压缩太多，审稿人会说没写清楚。
采访者（黄治中）：您二位作为Arakelov Geometry的资深专家，您觉得这个理论未来的发展趋势是怎么样？还有哪些比较重要的问题值得让我们进一步探索？
张寿武：我们两个考虑的问题不一样。我更多考虑几何的问题，他更多考虑算术的问题，所以大概分成两类。
这个理论主要考虑的是 height。关于 height，我们希望在 moduli space上，把点的 height 用 line bundle 来定义。我们书里处理的这些 heights，都是由 line bundle 定义的。算术几何里比较关心的大致有两类对象，比如algebraic cycle、algebraic subvariety等。我本人特别关注的是这些对象的正性。用 adelic line bundle 定义的理论有一个特点，就是它对正性特别敏感。相比经典理论，例如 André Weil 的理论，因为它是不 normalized 的，所以对正性没有那么敏感。因此，凡是涉及正性、并且能够用 line bundle 描述的问题，我们这套理论都非常实用。至少目前，我已经尝试了两件事情。
第一件，是我和高紫阳把它应用到 family of algebraic cycle上，用来研究它们的正性，效果非常好。它能够结合 bigness，利用我们书里的基本理论，对一些长期以来没有得到解决的 algebraic cycles 问题，给出一种描述。
第二件，是我最近在思考的一个问题。丘成桐邀请我做一个几何分析的报告，我在报告里介绍了 Kähler-Einstein metric with adelic metric，并在黑板上说明如何利用 adelic line bundle 来研究 polarized variety，或者说 Fano variety 这类纯粹代数几何和微分几何的问题。我觉得，我们这套理论可以帮助代数几何和微分几何学家重新描述一些问题。这是因为adelic 的理论体系，就是把阿基米德世界——也就是通常定义 metric 的世界——和数论学家研究的 p-adic metric 放到同一个框架里统一处理。我认为，这比单独研究单一理论要更自然。
我是一个很喜欢做梦的人，我有时候会觉得，我们所处理的现实世界，也许只是整个 adelic 世界中的一部分。这是一个让我非常兴奋的想法。所以，现在只要微分几何或代数几何学家介绍一个定理，我就会想：adelic 能不能做， 然后再返回微分几何或代数几何？我们有没有办法把这些不同的世界结合起来？未来，这就是我的梦想——用adelic思想统一代数世界和分析世界。
袁新意：我关心的问题，和张老师有所不同。张老师更关注几何，我更关注算术，或者说数论。更具体地说，就是丢番图方程相关的问题。前面张老师也提到，Arakelov 几何最初提出的动机，就是为了研究 Mordell 猜想，也就是为了处理丢番图方程。我希望能够利用这套理论，做出更多丢番图几何方面的结果。
目前丢番图几何中，我最关注的几个问题，一个是 ABC 猜想，它也等价于effective Mordell 猜想。它甚至有可能和张老师刚才提到的 Kähler-Einstein metric 有一定联系。第二个是 Bombieri-Lang 猜想，它可以看作高维情形下的 Mordell 猜想。第三个，就是前面提到的一致有界猜想（Uniform Boundedness Conjecture），也就是数域上阿贝尔簇的 torsion 有理点个数是否存在一致上界的问题。
此前，人们证明的是函数域上的结果，证明需要用到函数域上的 Szpiro 猜想。数域的情况要困难得多，而数域上 Szpiro 猜想实际上又等价于 ABC 猜想。因此，基本上如果证明了 ABC 猜想，就可以推出一致有界猜想。不过，函数域上的 ABC 已经知道，而数域上的 ABC 还远远没有解决，这是整个丢番图几何中最重要的猜想之一。当然，望月新一提出的那个证明，目前我们仍然不知道它是否正确。这又是另外一回事。
张寿武：两句话总结。他认为这个理论可以解决老问题。我是觉得这个理论可以发现新问题，解决新问题。
采访者（黄治中）：老问题通常都是很困难，很resistant的。
张寿武：对，因为我这年纪大了，老问题我试了很多年，觉得搞不动了。今天我觉得应该是要发展一个新的领域。
讲座信息
讲座主题：Adelic Line Bundles: From Canonical Heights to Arithmetic Positivity
讲座时间：8月14日9:40-10:40（北京时间）
讲座地点：北京雁栖湖应用数学研究院A6-101
线上观看地址：返朴微信视频号
讲座摘要：
Canonical heights play a fundamental role in arithmetic geometry, from the Mordell–Weil theorem to the Birch–Swinnerton-Dyer conjecture. In 1995, I introduced the notion of adelic line bundles, providing a geometric interpretation of canonical heights as degrees of metrized line bundles over all places of a number field. This viewpoint unifies Archimedean and non-Archimedean geometry and brings analytic methods into arithmetic geometry.
In this lecture, I will explain how adelic line bundles lead naturally to adelic intersection theory, Monge–Ampère measures, and the equidistribution of small points, with applications to the Bogomolov conjecture and arithmetic dynamics. I will then describe recent joint work with Xinyi Yuan that extends the theory to quasi-projective varieties, thereby making it possible to construct canonical adelic metrics on moduli spaces. These developments reveal new positivity phenomena in arithmetic geometry and provide a conceptual framework for studying heights of algebraic cycles and related arithmetic questions.
本文经授权转载自微信公众号“普林斯顿读书汇”，关注该公号获取更多学术好书。